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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
6.18.
Graficar las regiones determinadas en cada ítem y calcular su área.
i) $I=\left\{0 \leq y \leq \ln(x) ; 1 \leq x \leq e^{2}\right\}$
i) $I=\left\{0 \leq y \leq \ln(x) ; 1 \leq x \leq e^{2}\right\}$
Respuesta
Acá tenemos dos funciones involucradas
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$f(x) = \ln(x)$ y $g(x) = 0$
Además nos imponen los límites de integración $x=1$ y $x=e^2$.
1) Intersección entre $f$ y $g$
Si planteamos
$\ln(x) = 0$
$x = 1$
que ya nos lo daban como límite de integración, así que no hay ningún punto de intersección entre $x=1$ y $x=e^2$
2) Techo y piso
Si te acordás como era el gráfico de la función $\ln(x)$, no es necesario evaluar en ningún número, ya sabés que para $x$ mayores a $1$ esta función es techo y el eje $x$ es piso. Además también nos lo dice la desigualdad del enunciado :)
3) Planteamos la integral del área
$A = \int_{1}^{e^2} (\ln(x) - 0) \, dx = \int_{1}^{e^2} \ln(x) \, dx$
Aclaración: La primitiva $\int \ln(x) \, dx$ la resolvimos en la clase "Integrales que salen por partes con algún truquito", y también la resolvimos acá en la guía en el Ejercicio 17.f.
$A = \int_{1}^{e^2} \ln(x) \, dx = (x \ln(x) - x) \Big|_{1}^{e^2} = [(e^2 \ln(e^2) - e^2) - (1 \ln(1) - 1)] = e^2 \cdot 2 - e^2 + 1 = e^2 + 1$
Por lo tanto, el área encerrada es $e^2 + 1$.