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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 6 - Aplicaciones de la Integral

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6.18. Graficar las regiones determinadas en cada ítem y calcular su área.
i) I={0≤y≤ln⁡(x);1≤x≤e2}I=\left\{0 \leq y \leq \ln(x) ; 1 \leq x \leq e^{2}\right\}

Respuesta

Acá tenemos dos funciones involucradas

f(x)=ln⁡(x)f(x) = \ln(x) y g(x)=0g(x) = 0

Además nos imponen los límites de integración x=1x=1 y x=e2x=e^2.

1) Intersección entre ff y gg

Si planteamos

ln⁡(x)=0\ln(x) = 0

x=1x = 1

que ya nos lo daban como límite de integración, así que no hay ningún punto de intersección entre x=1x=1 y x=e2x=e^2

2) Techo y piso

Si te acordás como era el gráfico de la función ln⁡(x)\ln(x), no es necesario evaluar en ningún número, ya sabés que para xx mayores a 11 esta función es techo y el eje xx es piso. Además también nos lo dice la desigualdad del enunciado :)

3) Planteamos la integral del área

A=∫1e2(ln⁡(x)−0)  dx=∫1e2ln⁡(x) dxA = \int_{1}^{e^2} (\ln(x) - 0)  \, dx = \int_{1}^{e^2} \ln(x) \, dx

Aclaración: La primitiva ∫ln⁡(x) dx\int \ln(x) \, dx la resolvimos en la clase "Integrales que salen por partes con algún truquito", y también la resolvimos acá en la guía en el Ejercicio 17.f. 

A= ∫1e2ln⁡(x) dx= (xln⁡(x)−x)∣1e2= [(e2ln⁡(e2)−e2)−(1ln⁡(1)−1)]=e2⋅2−e2+1=e2+1A = \int_{1}^{e^2} \ln(x) \, dx = (x \ln(x) - x) \Big|_{1}^{e^2} = [(e^2 \ln(e^2) - e^2) - (1 \ln(1) - 1)] = e^2 \cdot 2 - e^2 + 1 = e^2 + 1

Por lo tanto, el área encerrada es e2+1e^2 + 1.
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